Backgammon-Wahrscheinlichkeiten: Tabelle der Trefferrisiken
Backgammon-Wahrscheinlichkeiten lautet die kurze Antwort: Beim Würfeln mit zwei Würfeln gibt es 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Wenn du weißt, wie viele dieser 36 einen Stein auf jedem Abstand treffen, wird jede Entscheidung am Brett aus einer Vermutung zu einer Rechnung.
Warum 36?
Es werden zwei Würfel geworfen, jeder mit sechs Seiten: 6 × 6 = 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. So rechnet man es am einfachsten aus: Der erste Würfel hat 6 Möglichkeiten, der zweite ebenfalls 6, und da beide unabhängig sind, ergeben sich 6 × 6 = 36 verschiedene geordnete Paare. Eine 3-5 und eine 5-3 zählen als zwei getrennte Ergebnisse, denn welcher Würfel welche Zahl zeigt, ist für die Wahrscheinlichkeit wichtig, auch wenn du sie auf dem Brett genauso spielen würdest.
Von diesen 36 Ergebnissen sind 6 Pasche (16,7%), 30 sind keine. Ein Pasch spielt dieselbe Zahl viermal, deshalb erreichen Pasche auch Abstände, die ein einzelner Würfel nie schaffen könnte. Statt zu fragen „Wie ist mein Glück?“, lässt sich diese Zahl zählen, und alles andere im Backgammon ruht auf dieser einen Tatsache.
Direkte Treffer, indirekte Treffer
Wenn die Felder dazwischen offen sind, steht fest, auf wie viele Arten ein Stein aus einem bestimmten Abstand getroffen werden kann:
| Abstand | Trefferarten (von 36) | Prozent |
|---|---|---|
| 1 | 11 | 30,6% |
| 2 | 12 | 33,3% |
| 3 | 14 | 38,9% |
| 4 | 15 | 41,7% |
| 5 | 15 | 41,7% |
| 6 | 17 | 47,2% |
| 7 | 6 | 16,7% |
| 8 | 6 | 16,7% |
| 9 | 5 | 13,9% |
| 10 | 3 | 8,3% |
| 11 | 2 | 5,6% |
| 12 | 3 | 8,3% |
| 15 | 1 | 2,8% |
| 16 | 1 | 2,8% |
| 18 | 1 | 2,8% |
| 20 | 1 | 2,8% |
| 24 | 1 | 2,8% |
Ein direkter Treffer reicht für Abstände 1 bis 6: Ein einzelner Würfel genügt, deshalb sind die Chancen hoch. Die 6 ist der gefährlichste Abstand (17/36), denn eine direkte 6 trifft ihn, dazu auch 5+1, 4+2 und 3+3, und 2-2, wobei die Zwei dreimal gespielt wird. Ein indirekter Treffer liegt bei Abstand 7 und darüber: Er braucht die Summe beider Würfel, daher sinken die Chancen deutlich auf 6/36. Den steilsten Abfall der ganzen Tabelle gibt es genau an dieser Linie: Abstand 6 liegt bei 47,2%, Abstand 7 fällt auf 16,7%. Ein Schritt mehr Abstand senkt das Risiko um etwa zwei Drittel. Diese Lücke zwischen direkt und indirekt ist die wichtigste Zahl im Backgammon.
Zwei Zeilen laufen der Intuition entgegen. Abstand 1 (11/36) ist sicherer als Abstand 2 (12/36), denn kein Pasch außer 1-1 erzeugt eine 1. Und Abstand 11 wird nur auf 2 Arten getroffen, Abstand 12 dagegen auf 3 Arten, weil die 12 durch 6-6, 4-4 und 3-3 entsteht. Ein Stein auf Abstand 13, 14, 17, 19, 21, 22 oder 23 kann in einem einzigen Zug von keinem Wurf getroffen werden; dafür gibt es null Möglichkeiten.
Diese Tabelle gilt, wenn die Felder dazwischen offen sind. Jedes Feld, das dein Gegner schließt, nimmt einige dieser Möglichkeiten weg. Das echte Risiko ist immer gleich oder geringer als die Zahl in der Tabelle: Die Tabelle zeigt den schlimmsten Fall, und das echte Brett ist nie schlimmer.
Ein Blot zu lassen ist kein Fehler, sondern ein Preis
Die Frage lautet nicht „Werde ich getroffen?“, sondern „Auf wie viele Arten kann ich getroffen werden, und was bekomme ich dafür?“. Einen Blot zwei Felder vor deinem 5-Punkt zu lassen birgt 12/36 Risiko; dafür bekommst du eine Chance, im nächsten Zug den wertvollsten Punkt des Spiels zu machen. Denselben Stein sechs Felder entfernt zu lassen kostet 17/36 und bringt dir weniger. Nicht die Größe des Risikos entscheidet, sondern was du dafür bekommst.
Es gibt nur zwei Möglichkeiten Unterschied zwischen Abstand 10 (3/36) und Abstand 9 (5/36), aber dieser kleine Unterschied kippt oft die Entscheidung, einen Stein ein paar Felder zurückzulassen. Bei großen Abständen wiegt jede zusätzliche Möglichkeit proportional mehr, weil die Grundzahlen so klein sind.
Die Kosten eines Treffers sind ebenfalls nicht fest. Ein Stein, der im Eröffnungsspiel geschlagen wird, verliert ein paar Augen, und ihn von einer leeren Bar zurückzuholen dauert nur wenige Züge. Ein Stein, der geschlagen wird, während das Heimfeld deines Gegners halb geschlossen ist, kann ganze Züge kosten, denn solange du auf der Bar feststeckst, kannst du keinen deiner anderen Steine bewegen.
Einsteigen von der Bar: der eine echte Moment der Panik
Solange du einen Stein auf der Bar hast, kannst du keinen anderen Zug machen. Das ist keine Wahl, sondern die Regel. Wie viele Punkte dein Gegner in seinem Heimfeld geschlossen hat, bestimmt deine Einstiegschancen:
| Geschlossene Punkte | Einsteigende Ergebnisse (von 36) | Prozent |
|---|---|---|
| 0 | 36 | 100% |
| 1 | 35 | 97,2% |
| 2 | 32 | 88,9% |
| 3 | 27 | 75,0% |
| 4 | 20 | 55,6% |
| 5 | 11 | 30,6% |
| 6 | 0 | 0% |
Bei drei geschlossenen Punkten liegen deine Einstiegschancen immer noch bei 75%; bei vier bei 55,6%; bei fünf bei 30,6%. Die Gefahr wächst nicht langsam, sie springt beim vierten Punkt. Sind alle sechs Punkte geschlossen, gibt es gar keinen Einstieg: Das nennt man ein geschlossenes Brett, und du kannst keinen einzigen Zug machen, bis dein Gegner mit dem Abtragen beginnt.
Von der anderen Seite betrachtet: Einen Punkt im Heimfeld deines Gegners zu machen ist oft mehr wert, als deinen eigenen Stein vorzurücken. Jeder neue geschlossene Punkt summiert sich zu den Zügen, die dein Gegner festsitzend auf der Bar verlieren kann.
Die Wand: die eine Struktur, die die Wahrscheinlichkeit auf null setzt
Sechs geschlossene Punkte in einer Reihe sind eine Wand, und ein Stein dahinter kann mit keinem Wurf einsteigen: Die höchste Augenzahl ist eine 6, und alle sechs aufeinanderfolgenden Punkte sind geschlossen. Selbst eine Fünf-Punkte-Wand lässt nur eine einzige Zahl durch. In der Tabelle ist das die Zeile mit 30,6%. Deshalb ist der Unterschied zwischen „fünf“ und „sechs“ im Backgammon kein Unterschied der Chancen, sondern einer der Art.
Wenn du den fünften Punkt im Heimfeld deines Gegners machst, ist das eigentliche Ziel der sechste: Der fünfte senkt die Einstiegschance deines Gegners auf 30,6%, der sechste auf null.
Glück messen: „Ich habe wegen der Würfel verloren“ ist eine prüfbare Behauptung
Playgridia erstellt nach jedem Match eine Analyse Zug für Zug: Deine Fehlerquote und dein Glückswert werden getrennt angegeben. Du musst nicht raten, ob du ein Match wegen der Würfel oder wegen einer Entscheidung verloren hast. Die Backgammon-Strategietipps behandeln die meisten dieser Entscheidungen.
Die Würfel selbst werden mit Commit-Reveal erzeugt: Das Ergebnis steht fest, bevor du die Würfel überhaupt berührst, und es lässt sich nach dem Match Punkt für Punkt prüfen. Das vollständige Verfahren steht in diesem Beitrag.
Ein längeres Match verkleinert den Glücksanteil: Matchlängen sind 1, 3, 5, 7 und 11 Punkte; Standard sind 5. Derselbe Könnensunterschied gewinnt über ein 11-Punkte-Match viel öfter. Bevor du die Würfel für ein verlorenes Match verantwortlich machst, prüfe, wie lange die Serie ist, die du tatsächlich betrachtest.
Du kannst dein erstes Match auf der Seite Backgammon starten und die Eröffnungszüge im Beitrag Backgammon-Eröffnungszüge durchgehen.
Häufig gestellte Fragen
Wie viele Ergebnisse haben zwei Würfel beim Backgammon?
Beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei Würfeln gibt es 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse (6 × 6). Davon sind 6 Pasche (16,7%), und ein Pasch spielt dieselbe Zahl viermal. Die übrigen 30 Ergebnisse sind keine Pasche, und jedes wird einmal gespielt.
Welcher Abstand ist am leichtesten zu treffen?
Ein Stein auf Abstand 6 ist am leichtesten zu treffen: 17 der 36 Ergebnisse (47,2%) treffen diesen Abstand. Eine direkte 6 trifft ihn, dazu 5+1, 4+2 und 3+3, und auch 2-2, wobei die Zwei dreimal gespielt wird. Das ist der höchste Prozentwert in der Tabelle.
Warum ist Abstand 7 so viel sicherer als Abstand 6?
Abstand 6 kann von einem einzelnen Würfel getroffen werden (ein direkter Treffer), Abstand 7 braucht die Summe von mindestens zwei Würfeln (ein indirekter Treffer). Deshalb sinken die Chancen von 17/36 (47,2%) auf 6/36 (16,7%). Ein Schritt mehr Abstand senkt das Risiko um etwa zwei Drittel.
Wenn mein Gegner vier Punkte geschlossen hat, wie stehen meine Chancen, von der Bar einzusteigen?
Bei vier geschlossenen Punkten im Heimfeld deines Gegners kannst du mit 20 der 36 Ergebnisse einsteigen, das sind 55,6%. Bei drei geschlossenen Punkten sind es 75%; bei fünf sinkt es auf 30,6%. Die Gefahr springt beim vierten Punkt stark an.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch?
6 der 36 Ergebnisse sind Pasche, also 16,7%. Wenn du einen Pasch würfelst, wird dieselbe Zahl viermal gespielt. Deshalb können Pasche Abstände erreichen, die ein einzelner Würfel nie schaffen würde.
Wie entscheide ich, ohne das genaue Trefferrisiko zu berechnen?
Denk daran, dass die Frage nicht lautet „Werde ich getroffen?“, sondern „Auf wie viele Arten kann ich getroffen werden, und was bekomme ich dafür?“. Kurze Abstände (1 bis 6) sind riskant, aber direkt; Abstand 7 und mehr ist weniger riskant, aber indirekt. Die Analyse nach dem Match von Playgridia trennt, welche Entscheidungen vom Glück und welche von Fehlern kamen.