Yatzy-Wahrscheinlichkeit: Chancen auf Yatzy und große Straße
Die Yatzy-Wahrscheinlichkeit, exakt berechnet: Ein Yatzy kommt im ersten Wurf einer Runde 6-mal in 7.776 Würfen vor, also 1 zu 1.296 (0,08 %). Wer alle drei Würfe darauf verwendet, kommt auf 4,60 %, etwa 1 zu 22. Eine große Straße liegt im ersten Wurf bei 3,09 %, ein Full House bei 3,86 %. Jede Quote in den Tabellen ist exakt: entweder über alle 7.776 Würfe mit fünf Würfeln gezählt oder über die drei Würfe einer Runde berechnet.
Yatzy-Chancen im ersten Wurf
Fünf Würfel haben 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7.776 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Wie viele davon jede Kombination ergibt, zeigt diese Tabelle. „Mindestens“ heißt: Die Kombination ist vorhanden, ein Vierling schließt also einen Fünfling ein.
| Kombination | Würfe von 7.776 | Chance im ersten Wurf |
|---|---|---|
| Fünf gleiche (Yatzy) | 6 | 0,08 % (1 zu 1.296) |
| Vierling (mindestens) | 156 | 2,01 % (1 zu 50) |
| Drilling (mindestens) | 1.656 | 21,30 % |
| Full House (3 + 2) | 300 | 3,86 % (1 zu 26) |
| Kleine Straße, beliebige vier in einer Reihe (Klassisch, Yacht) | 1.200 | 15,43 % |
| Große Straße, 1-5 oder 2-6 (Klassisch, Yacht) | 240 | 3,09 % (1 zu 32) |
| Skandinavische kleine Straße, genau 1-2-3-4-5 | 120 | 1,54 % |
| Skandinavische große Straße, genau 2-3-4-5-6 | 120 | 1,54 % |
| Ein Paar (mindestens) | 7.056 | 90,74 % |
| Zwei Paare (zwei verschiedene Augenzahlen) | 2.100 | 27,01 % |
Full House ist das strenge Drilling-plus-Paar, fünf gleiche zählen dort also nicht. Zwei Paare brauchen zwei verschiedene Augenzahlen, ein Vierling zählt dort also auch nicht.
So werden die Yatzy- und Straßenquoten berechnet
Wahrscheinlichkeit für ein Yatzy. Du wählst, welche der sechs Augenzahlen es wird, dann müssen alle fünf Würfel genau dort landen, jeweils mit 1/6: 6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 = 6/7.776 = 1/1.296.
Wahrscheinlichkeit für eine große Straße. Es gibt zwei Reihen, 1-2-3-4-5 und 2-3-4-5-6. Fünf verschiedene Augenzahlen lassen sich in 5! = 120 Reihenfolgen anordnen, also 2 × 120 = 240 Würfe von 7.776, das sind 3,09 %. Auf dem skandinavischen Blatt zählt pro Feld nur eine bestimmte Reihe, also bekommt jedes Feld die Hälfte: 120 Würfe, 1,54 %.
Chancen innerhalb von drei Würfen
Würfeln, behalten, was hilft, den Rest neu werfen, zweimal. Diese Tabelle zeigt die beste Chance, eine Runde mit einer Kombination zu beenden, wenn nur sie zählt und du die Würfel perfekt behältst.
| Kombination | Im ersten Wurf | Innerhalb von 3 Würfen, beste Strategie |
|---|---|---|
| Fünf gleiche (Yatzy) | 0,08 % | 4,60 % (etwa 1 zu 22) |
| Vierling | 2,01 % | 29,08 % |
| Drilling | 21,30 % | 74,32 % |
| Full House | 3,86 % | 36,29 % |
| Kleine Straße (beliebige vier in einer Reihe) | 15,43 % | 61,54 % |
| Große Straße (1-5 oder 2-6) | 3,09 % | 26,11 % |
| Skandinavische kleine oder große Straße (eine genaue Reihe) | 1,54 % | 19,68 % |
| Ein Paar | 90,74 % | 99,92 % |
| Zwei Paare | 27,01 % | 74,24 % |
Lies diese Werte als Obergrenzen. Eine echte Runde hat mehrere offene Felder, und selten setzt du alle drei Würfe auf ein einziges Ziel. Die Chance, eine bestimmte Kombination tatsächlich zu landen, ist also niedriger als die Zeile zeigt. Als Preisliste taugen sie trotzdem: Eine klassische kleine Straße kommt bei gezieltem Versuch etwa dreimal von fünf, eine große Straße etwa einmal von vier und ein Yatzy etwa einmal von zweiundzwanzig.
Ein Yatzy jagen: was jede gehaltene Gruppe wert ist
Die häufigste Entscheidung im Spiel ist, wie viele Würfel du behältst. Diese Tabelle zeigt die Chance, mit fünf gleichen zu enden, wenn du eine Gruppe einer Augenzahl behältst und alles andere neu wirfst.
| Du behältst | 1 Wurf übrig | 2 Würfe übrig |
|---|---|---|
| 1 Würfel (kein Paar) | 0,1 % | 1,3 % |
| 2 gleiche | 0,5 % | 2,9 % |
| 3 gleiche | 2,8 % | 9,3 % |
| 4 gleiche | 16,7 % (1 zu 6) | 30,6 % |
Mit einem Wurf übrig muss jeder fehlende Würfel passen, jeder multipliziert die Chance also mit 1/6: für vier gleiche bis zu einem fehlenden Würfel sind das 1/6, 1/36, 1/216 und 1/1.296, also die 16,7 %, 2,8 %, 0,5 % und 0,1 % der ersten Spalte. Mit zwei Würfen übrig und vier gleichen in der Hand scheiterst du nur, wenn du zweimal danebenliegst: 1 − (5/6) × (5/6) = 1 − 25/36 = 11/36, das sind 30,6 %.
Das Spiel bestätigt das. Über 800 Bot-gegen-Bot-Partien pro Stufe auf dem klassischen Blatt schreibt der schwere Bot, der jeden offenen Wurf der Runde berechnet, das Yatzy-Feld in etwa 36 % der Partien und trägt dort in etwa 64 % eine Null ein.
Chancen auf zwei Yatzys in einer Partie
Eine saubere Zahl gibt es nicht, und wir erfinden keine. Ein zweites Yatzy braucht, dass derselbe lange Schuss erneut gelingt, und wie oft du überhaupt versuchst, hängt davon ab, wie du die anderen Runden spielst. Nur die Simulation einer festgelegten Strategie könnte eine Zahl liefern. Festgelegt ist aber die Auszahlung: Auf dem klassischen Blatt bringt ein zusätzliches Yatzy 100 Punkte, aber nur, wenn das Yatzy-Feld schon 50 enthält; eine gestrichene Null zahlt nichts extra. Das skandinavische und das Yacht-Blatt haben keinen Bonus für ein zusätzliches Yatzy. Die vollständigen Regeln stehen im Yatzy-Regelwerk.
Der obere Bonus: warum 63
Drei von jeder Augenzahl ergeben 3 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 63, genau die Bonusgrenze. Jeder Würfel, der bei einer Augenzahl unter drei fehlt, kostet dich diesen Augenwert; jeder Würfel darüber holt ihn wieder herein. Der Bonus beträgt +35 auf Klassisch und Yacht, +50 auf Skandinavisch, und das Generala-Blatt hat keinen. Gemessen, Bot gegen Bot, erreicht der schwere Bot die 63 in etwa 43 % der klassischen Partien und etwa 70 % der skandinavischen; der mittlere Bot in etwa 16 % beziehungsweise 49 %.
Generala: Chancen beim ersten Wurf
Auf dem Generala-Blatt bringt eine Kombination, die schon im ersten Wurf der Runde gelingt, auf Reihe, Full und Poker je 5 Punkte extra: 25, 35 und 45. Das sind die Werte des ersten Wurfs aus der Tabelle oben:
- Generala beim ersten Wurf (fünf gleiche): 6 von 7.776, 1 zu 1.296. Sie zählt 50, wann immer sie kommt, und bekommt keine +5.
- Reihe beim ersten Wurf: 360 von 7.776, 4,63 %. Die beiden Reihen 1-2-3-4-5 und 2-3-4-5-6 ergeben 240 Würfe, und die Reihe 3-4-5-6-1, bei der das Ass hoch zählt, kommt mit 120 weiteren dazu.
- Full beim ersten Wurf: 300 von 7.776, 3,86 %.
- Poker beim ersten Wurf: 156 von 7.776, 2,01 %, vier gleiche oder mehr.
Manche Hausregeln machen eine Generala im ersten Wurf zum sofortigen Sieg. Hier nicht: Sie trägt 50 ein wie jede andere. Die Generala-Regeln erklären dieses Blatt; die Yacht-Regeln das Blatt mit den Reihen zu 15 und 30 Punkten.
Die Würfel sind fair, und du kannst es prüfen
Die Würfel einer Partie werden versiegelt, bevor sie beginnt. Der Server veröffentlicht nur einen Fingerabdruck, einen SHA-256-Hash eines geheimen Seeds; jeder menschliche Spieler steuert vor seinem ersten Wurf einen Zufalls-Seed aus seinem Browser bei; jeder Wurf wird aus beiden abgeleitet. Bytes, die eine Augenzahl begünstigen würden, werden verworfen, sodass 1 bis 6 genau gleich wahrscheinlich sind, und kein Tischdesign kann einen Würfel beeinflussen. Wenn die Partie endet, wird der Seed aufgedeckt, und „Würfe prüfen“ berechnet jeden Wurf in deinem eigenen Browser neu. Die Quoten in diesem Artikel sind die Quoten am Tisch.
Zum Vergleich: Perfektes Spiel auf dem amerikanischen 13-Felder-Blatt, das hier die klassischen Regeln nutzt, ergibt im Schnitt etwa 254,6 Punkte bei einer Standardabweichung nahe 60, laut dem optimalen Solitär-Spieler von T. Verhoeff (TU Eindhoven, 1999). Unser schwerer Bot kommt auf dem klassischen Blatt im Schnitt auf etwa 241. Nutze die Tabellen als Preisliste, wenn du entscheidest, was du behältst; die Entscheidungen dahinter erklärt der Artikel Yatzy-Strategie, und du kannst sie in einer kostenlosen Partie bei Yatzy online testen.
Häufig gestellte Fragen
Wie hoch sind die Chancen auf ein Yatzy?
Im ersten Wurf einer Runde kommen fünf gleiche in 6 von 7.776 Würfen vor, also 1 zu 1.296 oder 0,08 %. Wer alle drei Würfe nutzt und die Würfel für dieses eine Ziel perfekt behält, kommt auf 4,60 %, etwa 1 zu 22. In einer echten Runde, in der noch andere Felder offen sind, ist die Chance niedriger.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine große Straße?
Im ersten Wurf sind 240 von 7.776 Würfen eine große Straße (1-2-3-4-5 oder 2-3-4-5-6), das sind 3,09 %. Wer über drei Würfe mit perfektem Behalten darauf hinarbeitet, kommt auf 26,11 %. Auf dem skandinavischen Blatt zählt pro Feld nur eine genaue Reihe: 120 Würfe, 1,54 % im ersten Wurf und 19,68 % innerhalb von drei Würfen.
Wie hoch sind die Chancen auf zwei Yatzys in einer Partie?
Eine genaue Zahl gibt es nicht, denn sie hängt davon ab, wie du die anderen Runden spielst. Eine Zahl bräuchte also die Simulation einer festgelegten Strategie. Es ist viel seltener als ein Yatzy, denn derselbe lange Schuss muss ein zweites Mal gelingen. Auf dem klassischen Blatt bringt das zusätzliche Yatzy nur dann +100, wenn das Yatzy-Feld schon 50 enthält.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine servierte Generala?
Eine servierte Generala, fünf gleiche im ersten Wurf der Runde, liegt bei 6 von 7.776, also 1 zu 1.296. Eine Reihe im ersten Wurf liegt bei 360 von 7.776 (4,63 %), weil die Reihe 3-4-5-6-1 ebenfalls zählt. Auf Playgridia bringt eine servierte Generala wie jede andere 50 Punkte; sie gewinnt die Partie nicht.
Warum liegt der obere Bonus bei 63?
Drei von jeder Augenzahl ergeben 3 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 63, der Bonus belohnt also den Schnitt von drei Würfeln pro Augenzahl. Er bringt +35 auf dem klassischen und dem Yacht-Blatt und +50 auf dem skandinavischen Blatt. Das Generala-Blatt hat keinen oberen Bonus.
Kann ich prüfen, ob die Yatzy-Würfel fair sind?
Ja. Die Würfel einer Partie werden versiegelt, bevor sie beginnt; gezeigt wird nur ein Fingerabdruck des geheimen Seeds. Wenn die Partie endet, wird der Seed aufgedeckt, und mit „Würfe prüfen“ berechnet dein eigener Browser jeden Wurf neu.